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LPC - Les Pierres qui Chantent

Cabinet associatif d'étude et expertise en architecture et acoustique. Amélioration de l’habitabilité acoustique des logements pour personnes vulnérables et handicapées. Assistance à Maitrise d’Ouvrage en BTP. LPC travaille en lien avec le laboratoire d'Architecture UMR 7218 CNRS, des agences d’architectes, des établissements médico-sociaux, et contribue à la formation professionnelle dans ses disciplines d’étude. LPC est propriétaire du Label "Haute Qualité Acoustique". CONTACT 06 63 16 87 89

UN HOMME AUX CAPACITÉS AUDITIVES EXCEPTIONNELLES

Publié le 23 Mars 2016 par Olivier MANAUD - Cécile BARRANDON

UN HOMME AUX CAPACITÉS AUDITIVES EXCEPTIONNELLES

Bonjour, je m’appelle Arthur.

J'habite en Bretagne. Vous ne me connaissez pas et vous ne me rencontrerez probablement jamais. J’habite aujourd’hui dans un centre spécialisé pour personnes avec handicap mental. Pour ma part j’ai été diagnostiqué autiste. Si j’étais venu au monde trente ans plus tôt, on m’aurait sans doute enfermé dans un asile psychiatrique ; et si j’étais né voici un siècle ou deux, d’aucuns auraient pensé que j’étais possédé et on m’aurait fait subir des exorcismes… Mais heureusement, nous sommes au XXIe siècle et bien des choses ont évolué. Il est vrai, qu’aux yeux de notre société, je suis profondément handicapé et je ne peux absolument pas avoir une vie sociale normale. Ce qui me pénalise le plus c’est ma sensibilité auditive surpuissante. Les plus jeunes pourraient me dire : « C’est génial ! Tu as un superpouvoir ! » En effet, je suis capable d’entendre des sons et des bruits qu’un être humain « normal » ne peut pas percevoir : toutes portes closes, je distingue une conversation à l’autre bout du bâtiment où j’habite, malgré quatre ou cinq épaisseurs de murs, et près de 80 mètres de distance. J’entends très distinctement le train entrer en gare à 400 mètres de notre lieu de vie, ainsi que les annonces qui sont diffusées sur le quai : « Le TGV va partir, attention à la fermeture automatique des portes, attention au départ ! »… Je ne sors pas d’un film de Marvel. Personne ne m’a appris à apprivoiser cette sensibilité auditive et souvent cela me pèse énormément. Tous les bruits arrivent simultanément à mes oreilles et mon cerveau est saturé par cette quantité surabondante d’informations sonores. Lorsque quelqu’un vient me parler, j’entends en même temps les cris dans la chambre voisine, le claquement des portes dans le couloir, la chasse d’eau dans les toilettes, la sonnerie du téléphone dans le bureau du directeur et ce lancinant ronronnement de la VMC qui n’arrête jamais. On m’a proposé de porter des bouchons d’oreilles pour me soulager la vie. Ça soulage partiellement, mais j’ai bien du mal à les supporter. Mais personne ne peut vraiment comprendre ce qui se passe. Ce mélange de sons, cette perpétuelle avalanche de bruits qui envahissent ma tête me mettent dans l’incapacité d’apprendre à parler votre langue… En effet, les mots sont mêlés de bruits, de grincements, de claquements, de murmures et d’un immense brouhaha qui constituent une sorte de bouillie sonore indescriptible à mes pauvres oreilles. Aussi, par mimétisme de perception, mon seul mode d’expression est le cri ou plus exactement une sorte de grognement qui s’apparente à celui d’une bête sauvage… Mais je ne suis pas un ours, je suis un homme.

Il aurait sans doute fallu m’embaucher pour travailler dans les sous-marins pour décrypter les informations des sonars : j’ai appris qu’il est nécessaire d’avoir une audition très fine. Sans doute que l’armée devrait chercher ses futures recrues dans les IME d’enfants avec autisme pour les préparer à ce type de missions. Des gens comme moi pourraient aussi aider les services de secours à localiser des personnes ensevelies sous les décombres lors de séismes ou de catastrophes naturelles, car nous pouvons entendre leurs cris même à travers le béton et les gravas. Certaines personnes autistes, comme moi, ayant une sensibilité auditive surdimensionnée, ont eu la chance de grandir dans un espace avec moins de bruits, car ils vivaient à la campagne ou à la montagne. Certains sont devenus musiciens avec l’oreille absolue et une capacité de mémorisation exceptionnelle : ils entendent un morceau une seule fois et le connaissent par cœur.

Il y a deux choses que l’on sait pertinemment aujourd’hui : premièrement que les oreilles ne sont pas les seuls organes qui nous permettent d’entendre. En effet, toute la boite crânienne est dotée de petits capteurs qui complètent avantageusement notre perception des bruits et des sons. Ainsi, plusieurs personnes ayant quasi perdu l’audition au niveau des oreilles sont encore capables de percevoir certaines fréquences. Aussi, pour nous, personnes avec autisme, le recours à des bouchons d’oreille est souvent bien insuffisant… Il faudrait presque nous concevoir un casque qui enveloppe toute la tête ! Ce ne serait pas très esthétique mais sans doute beaucoup plus efficace ! La deuxième chose importante à comprendre c’est ce n’est pas notre appareil auditif qui est doté d’une capacité particulière, mais notre cerveau. Les neuroscientifiques ont découvert que notre hypersensibilité acoustique provient d’une ‘hyper réactivité’ au niveau cérébral ce qui expliquerait nos réactions atypiques.

Maintenant vous comprenez sans doute un peu mieux le combat qui est le mien est aussi de bien des personnes qui accompagnent les autistes. Il est urgent d’intégrer de manière plus fine et plus performante le facteur acoustique dans la conception des centres d’accueil de personnes comme moi. Je ne veux pas vivre dans un caisson parfaitement étanche aux sons… Mais je demande simplement une chambre un peu mieux isolée. Nous les personnes avec autisme, nous sommes un public hors normes, il faut donc concevoir pour nous des espaces qui soient hors normes.

Merci de m’avoir lu jusqu’au bout et merci à l’association LES PIERRES QUI CHANTENT ne m’avoir donné la parole. Bonne journée à vous.

Arthur

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LE MYTHE DES PROPORTIONS ACOUSTIQUES IDEALES D’UNE PIECE

Publié le 19 Mars 2016 par Olivier MANAUD - Cécile BARRANDON

LE MYTHE DES PROPORTIONS ACOUSTIQUES IDEALES D’UNE PIECE

Il n’y a pas de bonnes dimensions en soi. Cela va sans doute surprendre plusieurs d’entre vous… De nombreuses recherches ont pourtant été menées dans ce sens. Mais dans tous les cas de figures, les résultats s’applique à UNE position de l’émission sonore et à UNE position d’écoute pour LE cas particulier de pièces parallélépipédiques. Si vous changer une des composantes la belle théorie s’écroule. Y a-t-il toutefois des dimensions clés, un stradivarius de l’espace habitable ? Des tentatives de modélisation existent. Nous voulons ici mettre en garde contre des simplifications abusives. Les recherches d'un l'archétype acoustique ne sont pas dénuées de valeur. Au contraire ! Mais, il faut bien préciser la finalité qui les sous-tendent. Retenons trois ou quatre raisons de se pencher sur cette question des proportions acoustiques idéales d’une pièce.

1) Raisons théoriques

Le désir de formaliser mathématiquement une question complexe pour la rendre adaptable dans le plus grand nombre de cas possibles est très louable. Le cadre théorique assez aisément modélisable est celui d’une pièce d’habitation de forme rectangulaire à plafond plat et horizontal. C’est le cas de la très grande majorité de nos pièces de vie (chambres, bureau, salon, salles de réunion). Le choix de cette forme générique est donc pertinent. S’appliquent alors le calcul du TR et le calcul des « modes » de vibration permettant de déterminer les fréquences de résonance du lieu. En fonction du spectre de la voix humaine et de la position de la source sonore, on peut alors déterminer assez facilement (pour une hauteur sous plafond donnée, par exemple) les dimensions largeur et longueur d’une pièce.

Plusieurs spécialistes ont ainsi déterminé les dimensions optimales théoriques pour une acoustique idéale d’une pièce.[1] Cependant les résultats sont très divers. Voici un aperçu partiel :

[1] L.W. SEPMEYER, « Computed frequency and angular distribution of the normal mode of vibration in rectangular rooms », in Journal of Acoustical Society, vol 37, n°3, mars 1965, pp. 413-423. C.P. BONER, « Performance of broadcast studios designend with convex surfaces of plywood », in Journal of Acoustical Society, vol. 13, 1942, pp. 244-247. J.E. VOLKMANN, « Polycylindrical diffusers in room acoustical design », in Journal of Acoustical Society, vol.13, 1942, pp. 234-243. M.M. LOUDEN, « Dimensions ratios of rectangular rooms with distribution of eigentones », in Acoustica magazine, 1971, pp. 101-104.

Sources Hauteur largeur Longueur
C.P. Boner, 1942 1,00 1,26 1,58
J.E. Volkmann, 1942 1,00 1,50 2,50
L. W. Sepmeyer, 1965 1,00 1,14 1,39
L. W. Sepmeyer, 1965 1,00 1,28 1,54
L. W. Sepmeyer, 1965 1,00 1,60 2,33
M.M. Louden, 1971 1,00 1,40 1,90
M.M. Louden, 1971 1,00 1,30 1,90
M.M. Louden, 1971 1,00 1,50 2,10
Richard H. Bold, 1946 1,00 1,50 2,50
Richard H. Bold, 1946 1,00 1,26  1,59
IEC 60268-13, 1998 1,00 1,96 2,59
La proportion dorée, 1968 1,00 1,62 2,62
Dolby Lab Recomendations 1,00 1,49 2,31
La proportion radiante 1,00 1,32 1,74

 

Conscient qu’il y avait une multitude de possibilités correctes, Louden a publié 125 dimensions de références dans son article de 1971, lesquelles sont toujours citées par F. Alton Everest dans son ouvrage de référence Master Handbook of Acoustics, 2001, quatrième édition, p. 227. On retrouve toutes ses dimensions grâce à l’inégalité suivante (avec H la hauteur, l la largeur et L la longueur de la pièce).

LE MYTHE DES PROPORTIONS ACOUSTIQUES IDEALES D’UNE PIECE

Notons que selon le volume d’une pièce, certains rapports de proportions sont plus indiqués que d’autres. Pour simplifier, on distingue trois groupes : les pièces jusqu’à de 50m3, de 50 à 100m3 et les pièces de plus de 100m3. Pour chacun d’eux certains trios de proportions sont mieux indiqués. Les tenants d’une position unique sont donc très vite coincés dès lors qu’il faut changer d’échelle. C’est pour cela que des experts comme Louden ou Everest donnent plusieurs valeurs possibles.

2) Raisons symboliques

Si l’on est porté par une finalité métaphysique, à savoir la recherche de ramener le multiple à l’UNITE, la symbolique des nombres devient très fascinante. C’est dans cette dynamique que la proportion dorée a été proposée y compris pour ses « valeurs » acoustiques. Malheureusement le trio 1 : 1,62 : 2,62 n’est pas du tout concluant quel que soit le volume (petit ou grand) d’une pièce. Aucun n’expert n’a reconnu la pertinence de la proportion dorée, utilisée telle qu’elle, en matière d’acoustique. Rappelons que son mode d’élaboration est à deux dimensions et s’applique au plan. Par contre la proportion radiante est à trois dimensions et s’applique aux volumes ; sa pertinence acoustique est bien meilleure, particulièrement pour des petits volumes (inférieurs à 50m3).

W.C. Sabine fut un des premiers à réagir sur la question des dimensions idéales d’une pièce. Dès 1922, dans son livre Collected papers on acoustics, Harvard University Press (London), il stigmatise certaines approches qui sont davantage symboliques que scientifiques:

« Ainsi, les déclarations les plus précises et souvent répétées sont fréquemment les suivantes, à savoir que les dimensions d'une pièce devraient être dans le rapport 2: 3: 5, ou selon certains auteurs 1: 1: 2, et d’autres enfin 2: 3: 4. Il est probable que l’origine de ces suggestions se rapporte aux intervalles harmoniques de la musique, mais cette connexion est dépassée et sans réel fondement. En outre, un tel conseil est difficile à appliquer dans la pratique ; doit-on mesurer la longueur à l'arrière ou à l'avant des galeries, à l'arrière ou à l'avant de l'évidement de la scène? Certaines pièces ont un toit en pente, alors où la hauteur doit-elle être mesurée ? »

Il ne faut pas pour autant rejeter la finalité symbolique. Elle a sa valeur intrinsèque. Le danger serait d’en faire un absolu. La proportion radiante 1 : 1,32 : 1,74 rentre dans le diagramme de Bolt, comme nous l’avons montré dans un précédent article. Mais une fois que l’on a dit cela, une fois son intégration faite dans l’architecture d’un bâtiment, la pièce reste nue. Dès lors que l’on installe l’ameublement et tous les éléments de domotique, la réalité concrète bouscule le cadre théorique et symbolique.

3) Raisons pratiques, voire thérapeutiques

Il est bon de rappeler que les formules de calcul des modes de vibration et fréquences de résonance d’une pièce sont établies avec les hypothèses que la pièce est vide, que les murs sont des parois réfléchissantes et qu’il n’y aucune ouverture dans les murs. Or on sait que la prise en compte de l’ameublement peut totalement changer ces modes de vibration et faire baisser les niveaux de modes (axiaux, tangentiels et obliques).[1] On sait aussi que certaines grandes surfaces très réfléchissantes (tables, armoires…) sont capables de scinder les modes et donc de générer deux modes à la place d’un seul.[2] De plus, dès lors qu’il y a une ouverture dans un mur le système de pression change et les qualités acoustiques sont modifiées. Tout cela semble évident, mais cela a été vérifié et calculé de manière précise plus récemment. De plus, il a été vérifié qu’il y a très souvent une différence entre les valeurs théoriques et les valeurs acoustiques réelles pour une pièce vide.[3]

 

[1] De MELLO, et al., “Sound absorption at low frequencies: room contents as obstacles”, Journal of Building Acoustics, 2007, vol. 14, no. 2, p. 143.

[2] BORK, “Modal analysis of standing waves (in German)“, in Progress of Acoustics, DAGA 05, 31st Annual Convention of Acoustics. (German Society of Acoustics), Munich, 2005.

[3] WELTI, “Low-frequency optimization using multiple subwoofers”, Journal of Audio English Society, 2006, p. 347. TOOLE, Sound reproduction - Loudspeakers and rooms, Focal Press, 2008.

LE MYTHE DES PROPORTIONS ACOUSTIQUES IDEALES D’UNE PIECE

L'objectif de l'ensemble de ces méthodes d'optimisation consiste à agencer tous les modes uniformément sur l'axe des fréquences. Par conséquent, dans une pièce domestique, afin de profiter des avantages de rapports optimaux, tous les modes doivent être excités, simultanément et à des niveaux égaux, et l'auditeur doit être en mesure de les percevoir tous, encore une fois simultanément et à des niveaux égaux. Concrètement, cela n’est possible si et seulement si la source sonore et l'auditeur sont positionnés dans les coins de la pièce. Partout ailleurs, les modes ne sont pas tous sous tension de manière égale et donc ne sont pas audibles de manière égale.[1] Si l’on écoute de la musique, en positionnant au hasard soit la source ou soit l'auditeur, seuls certains modes seront (partiellement) excités et seuls une partie d’entre eux seront effectivement entendus, de sorte que quelque soit le trio de rapports (H, l, L) que vous choisiriez, le résultat ne serait ni nettement meilleur, ni nettement pire qu’un autre trio. Il faut donc retenir que pour des dimensions données, l’emplacement du point d’émission sonore est fondamental. Par exemple pour une chambre d’un bébé qui crie la nuit. En positionnant son lit à tel ou tel endroit vous lui rendrez un fier service ! Et pas uniquement pour lui, mais pour toute la famille ! Quelque fois, il suffit de décaler le lit de 25 ou 30 cm pour observer un changement très appréciable.

Rappelons que toutes les méthodes d'optimisation théoriques ont été conçues pour obtenir des conditions optimales uniquement lorsque la source sonore est positionnée dans un coin de la piece. Cela ne veut pas dire que le système théorique soit erroné, mais il ne s’ajuste pas toujours à la réalité. Il est très intéressant pour la conception d’un home cinema par exemple; mais insuffisant pour la conception d’une salle de reunion. Aussi, comme pour un violon, il est bon de suivre le plan théorique en respectant les dimensions, les formes et les volumes. Mais il faut ensuite opérer les ultimes réglages en creusant le chevalet et en positionnant l’âme. Pour une pièce de vie, il convient de régler l’acoustique par le positionnement de la domotique. Aussi, les approches théoriques et symboliques devront dialoguer avec la réalité pratique. Il en va du bien-être des habitants. Ce bien-être peut même devenir thérapeutique pour des personnes hypersensibles aux sons et aux bruits. Ce dernier aspect fera l’objet d’un prochain article… (à suivre)

 

[1] TOOLE, “Loudspeakers and rooms for sound reproduction – a scientific review”, Journal of 
the Audio Engineering Society, 2006
, p. 451.

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AU-DELA DU NOMBRE D’OR, LE NOMBRE RADIANT – SON USAGE ET SA PERTINENCE EN ARCHITECTURE, MUSIQUE ET ACOUSTIQUE

Publié le 5 Mars 2016 par Olivier MANAUD - Cécile BARRANDON

AU-DELA DU NOMBRE D’OR, LE NOMBRE RADIANT – SON USAGE ET SA PERTINENCE EN ARCHITECTURE, MUSIQUE ET ACOUSTIQUE

Depuis quelques années, chercheurs, philosophes, architectes, musicologue et mathématiciens se penchent sur les propriétés remarquables du nombre Psi (Ψ). Il est de la même famille que le nombre d’or. Ses propriétés sont analogues. Le nombre d’or est à deux dimensions et permet de qualifier un rapport de proportions dans le plan (il est plus juste de parler de proportion dorée). Quant au nombre radiant, il est à trois dimensions et renvoie à un rapport de proportions entre trois segments. Il s’applique non seulement dans le plan, mais aussi dans l’espace, permettant de qualifier un volume. Moins connu que son grand frère doré, le nombre radiant rayonne aussi fortement. Soucieux des rapports entre musique et architecture, nous avons constaté qu’il comporte une pertinence plus grande en matière musicale et acoustique.

Les deux pionniers de cette investigation sont le mathématicien-polytechnicien Gérard Cordonnier et le moine-architecte-philosophe Hans Van der Laan. Le premier a théorisé et identifié le nombre radiant. Le second lui a donné son enracinement symbolique et philosophique. Dans son ouvrage Le Nombre Plastique, Quinze leçons sur l’ordonnance architectonique, paru en 1960, Van der Laan explique que la filiation de cette découverte remonte aux enseignements de Vitruve. Ce renvoi à l’Antiquité est une manière de consolider la pertinence de sa trouvaille. En effet, dans le De Architectura on trouve de longs développements sur l’importance du respect des rapports de proportions dans les édifices à construire. Ceci est vrai autant pour la proportion dorée que la proportion radiante.

La lecture conjointe des travaux de ces deux chercheurs nous ont permis de mettre en lumière les propriétés remarquables du nombre radiant appliquées à la musique et à l’acoustique. De plus sa symbolique ternaire ouvre des perspectives d’interprétation transversales non négligeables. Van der Laan n’était pas musicien mais il était moine bénédictin, et donc un habitué du chant grégorien. Il a fréquenté Dom Mocquereau à l’abbaye de Solesmes et a été très intéressé par ses recherches sur le Nombre Musical (paru en deux tomes respectivement en 1908 et 1927). Ce dernier considère les aspects de la musique comme subordonnés au rythme du mouvement. « Il n’existe qu’une seule rythmique générale dont les lois fondamentales, établies sur la nature humaine, se retrouvent nécessairement dans toutes les créations artistiques, musicales et littéraires, de tous peuples, dans tous les temps. » (A Mocquereau, Le Nombre musical ou rythmique grégorienne, t.1, p. 26.) Van der Lann sera fasciné par ce travail du musicologue et va faire une transposition au domaine de l’architecture.

Grâce à Gérard Cordonnier que notre ami Claude Genzling nous a fait connaître, nous avons compris la mise en équation du nombre radiant. Mais fondamentalement, comme pour le nombre d’or, le fondement n’est pas ici d’ordre mathématique mais surtout d’ordre métaphysique. Depuis toujours les penseurs ont cherché à concilier l’UN et le MULTIPLE. C’est dans le concept de proportion que l’issue a été trouvée, comme facteur d’harmonie. Qu’il s’agisse des mesures d’un plan d’architecte ou des écarts entre les notes de musique, l’absence de règle d’ordonnancement conduit vite à un désordre et à un chaos. Dès lors que l’on intègre un principe de proportion, cela produit un sentiment de bien être et d’eurythmie. La notion de proportion rapporte donc le MULTIPLE à l’UN par une relation codifiée mathématiquement.

Systématisation du propos

Pour le nombre d’or, la recherche de l’UNITE a conduit à s’intéresser à un rapport étonnant entre deux mesures (ou deux segments) : Dès lors que l’on choisit deux mesures telles que A/B=B/(A+B), on obtient une harmonie remarquable qui a fasciné le Moyen Âge. Cela donne l’équation suivante :

A² + AB = B², soit B²-AB-A² = 0

En divisant l’équation par A², cela donne : (B/A)²- (B/A)-1 =0

Avec l’écriture algébrique moderne : ϕ²- ϕ - 1 = 0

Le nombre d’or (appelé aussi Phi) est la solution de cette équation, soit ϕ = 1,618 (valeur approchée). De plus, à partir de nos trois segments (A, B et A+B) il est possible d’engendrer une série géométrique munie également d’une progression arithmétique : Un+1 = Un-1 + Un= ϕUn. Plus n augmente plus le rapport Un/Un-1 se rapproche de ϕ.

Le nombre radiant, comme nous l’avons dit, possède les mêmes propriétés. La littérature spécialisée ne souligne pas assez qu’il possède lui-aussi une double progression géométrique et arithmétique. C’est pourtant cette double propriété qui a largement contribué à la notoriété du nombre d’or. Grâce à Gérard Cordonnier, ces propriétés du nombre radiant ont été mises en lumière. Il se préparait à publier une étude sur ce sujet, mais il est décédé brutalement sans parvenir à achever son travail… Dans cet article, nous souhaitons nous inscrire dans l’élan de ces deux chercheurs (Van der Laan et Cordonnier) et partager quelques ouvertures dans l’attente d’une future publication.

Considérons ici trois segments a, b et c, régit dans des rapports de proportions suivants :

AU-DELA DU NOMBRE D’OR, LE NOMBRE RADIANT – SON USAGE ET SA PERTINENCE EN ARCHITECTURE, MUSIQUE ET ACOUSTIQUE

b/a = c/b = (a+b)/c = (b+c)/(a+b) = (a+b+c)/(b+c)

Cela nous donne trois équations : ac = b²  et  c² = ab + b²  et  c(b+c) = (a+b)²

On obtient b3 – a²b – a3 = 0, soit (pour a=1)  Ψ3 – Ψ – 1 = 0

Ceci correspond à la fois à la suite Un+1 = Un-2 + Un-1 et Un+1 = Ψ Un. Plus n augmente, plus le rapport Un/Un+1 tend vers Ψ. On retrouve bien une série géométrique associée à une progression arithmétique, tout comme pour ϕ. On obtient alors une valeur approchée de Ψ est Ψ = 1,325. Notons qu’Omar Khayyam (1045-1132) avait déjà résolu de manière géométrique la solution de cette équation du 3ème degré en traçant l’intersection d’un demi-cercle et d’une parabole.

Ψ ≈ 4/3 à 1/150ème près.

Selon Claude Genzling, Gérard Cordonnier tenait Ψ pour un nombre aussi important que le nombre d’or, voire même supérieur. On s’en sert effectivement très souvent en architecture et en musique sans pour autant en avoir conscience. Omniprésent dans l’architecture et dans la domotique. La valeur précise de Ψ est 1,3247. Quiconque connaît un peu l’histoire des rapports des nombres à l’architecture sait que la longueur d’un « pied carolingien » est de 0,3248 m. La valeur du pied n’a pas toujours été la même d’une région à l’autre et d’une époque à l’autre. Le plus connu est certainement le  « pied romain » (0,2965 m) ; il était employé pour de très nombreuses églises et abbayes romanes. Le pied carolingien a aussi servi de module pour la construction à l’époque médiévale, notoirement pour l’abbaye de Cluny III (on l’appellera ensuite le « pied du roi » et restera en vigueur en France jusqu’en 1799). Nommons « P » cette valeur (P= 0,3248m). On constate avec étonnement que Ψ = 1 + P.

Ceci donne : P = Ψ – 1

Il y a donc une relation mathématiquement très simple entre le nombre radiant et le pied carolingien. On sait aussi qu’avec le pied, la deuxième mesure clé était la coudée qui vaut un pied et demi. Appelons Co la coudée

Co = 3/2 P = 3/2 (Ψ – 1)

Le nombre radiant ne se retrouva pas seulement en architecture, mais auss en acoustique et en musique. Il est semble parfois caché par le rapport de proportion plus simple de 4/3 (=1,33). C’est sans doute là qu’il faut le chercher. Il correspond au cycle des quartes : On passe effectivement d’une quarte à l’autre par un rapport de fréquence de 4/3. On observe ainsi 12 intervalles avant d’avoir parcouru toutes les notes chromatiques de la gamme. Depuis l’Antiquité, on connaît le cycle des quintes. Mais aujourd’hui le cycle des quartes attire notre attention. Voilà ce que cela donne schématisé :

AU-DELA DU NOMBRE D’OR, LE NOMBRE RADIANT – SON USAGE ET SA PERTINENCE EN ARCHITECTURE, MUSIQUE ET ACOUSTIQUE

Fa = Ψ Do (en Hz), et ainsi de suite de quarte en quarte.

Qu’il s’agisse d’une lecture horizontale de la succession de ces notes (mélodie) ou d’une lecture verticale (harmonie), la succession de quartes ou leur superposition dans un accord suscite une ambiance sonore particulière. Ainsi, par exemple, dans l’accord de Do mineur onzième (noté Dom 11) nous retrouvons nos superpositions de quartes : Dom11= Do-Mib-Sol-Sib-Fa

La quinte est l’intervalle naturel fondamental du chant. Son intervalle complémentaire est la quarte. La quinte est le principe « actif », la quarte est l’intervalle résultant pour parvenir à l’octave ; il est donc un intervalle plus « passif ». Pour reprendre (à la suite de Jacques Viret) le schéma extrême-oriental du Yin/Yang (féminin/masculin), la quinte est Yang et la quarte est Yin. « Plus rationnellement, en se référant aux proportions numériques des intervalles musicaux – le chiffre caractéristique étant celui du numérateur –, la quinte (3/2) se relie au nombre trois, impair et masculin ; la quarte (4/3) au nombre quatre, pair et féminin. » (Jacques Viret, Le chant grégorien et la tradition grégorienne, L’Âge d’Homme, 2001, p. 356). Cette lecture doit cependant être clarifiée. Selon nous, la relation quinte / quarte relève davantage du registre de la complémentarité que du dualisme que le Yin/Yang pourrait laisser suggérer. Le rapport masculin / féminin est une complémentarité ; ceci est d’autant plus fort lorsqu’on sait de la tessiture vocale féminine épouse les harmoniques 1 et 2 de la voix masculine. Mais le rapport entre la quarte et la quinte peut aussi être lu comme la rencontre du principe divin (le nombre 3, porté par la quinte) et la réalité du cosmos (le nombre 4, porté par la quarte).

Revenons à l’acoustique avec la question de la note de résonance de l’édifice.

A l’époque médiévale, dès lors que la coudée servait de module de base à toutes les mesures intérieures de l’édifice, elle était aussi une valeur théorique et symbolique clé pour l’acoustique du lieu. En effet, la mise en résonance de l’édifice procède du phénomène des ondes stationnaires. La fréquence d’une onde sonore (F) se calcule de la manière suivante :

F = C / λ, avec C la célérité du son (soit environ 340 m/s à 15°C) et λ la longueur d’onde du son émis.

Pour que F soit une fréquence de résonance, il faut que la longueur d’onde corresponde soit à la coudée de construction (λ = Co), soit au pied de construction (λ = P)

On obtient : F = C / Co = 340 / [3/2 (Ψ – 1)] = 340 / 0,4872 = 697 Hz (soit Fa4)

Ou : F = C / P = 340 / (Ψ – 1) = 340 / 0,3248 = 1047 Hz (soit Do5)

La première équation fait apparaître l’alliance et la conjonction de la quinte et de la quarte. Il en résulte que la fréquence de résonnance associée est soit le Fa (Notons que ce calcul est extrêmement simplifié lorsqu’on pose l’approximation Ψ = 4/3. Notre équation donne F = 680 Hz.), soit le Do. Ainsi la note symbolique de résonance de l’abbatiale de Cluny III était le Fa. C’est une fréquence qui correspond à la tessiture vocale des moines et la hauteur du chant d’un récitatif. Lorsque les moines chantaient sur cette note, l’édifice entrait en résonance. La deuxième note de résonance est en fait la quinte de la première (elle est sa deuxième harmonique). C’est à dire qu’elle entre simultanément en résonance avec la première. Aussi l’utilisation du pied carolingien en architecture (mathématiquement relié à Ψ) permet la conjonction symbolique et acoustique du Yang et du Yin, du principe masculin et féminin. On peut alors se demander où se trouve le principe féminin pour des moines… Il est cependant bien présent de manière symbolique et liturgique : l’Eglise est comprise depuis les écrits de Saint Paul (lettre aux Ephésiens, chap. 5) comme l’épouse du Christ. Cette compréhension nuptiale demeure encore aujourd’hui dans la manière de concevoir architecturalement la construction d’une église.

 

Nombre radiant et diagramme de Bolt – les dimensions de la pièce idéale acoustiquement

Dans plus de 90% des cas les pièces sont parallélépipédiques. Et les dimensions (longueur, largeur, hauteur) influencent l'acoustique dans celles-ci. Le diagramme de Bolt résulte d’une étude statistique et donne une zone de proportions pertinentes et acceptables. Ce diagramme exprime les ratios identifiés (sur la base de tests empiriques et mathématiques) permettant d'améliorer l'acoustique des salles. Sur ce diagramme vous pouvez lire en abscisse la largeur divisée par la hauteur, et en ordonnées la longueur divisé par la hauteur. Lorsque les deux rapports entrent dans la zone “patatoïde” (délimitée par les pointillés), les proportions sont acceptables. 

Diagramme de Bolt

Diagramme de Bolt

Vérifions ce qui se passe lorsque l’on utilise le rapport de proportion Ψ. Pour une hauteur sous plafond H donnée, la largeur l = Ψ H et la longueur L = Ψ l = Ψ² H. Appliquées au diagramme de Bolt, on obtient en abscisse x = l/H = Ψ = 1,32 et en ordonnée y = L/H = Ψ² = 1,74. Ainsi, quelque soit la valeur initiale H, lorsqu’on utilise le rapport de proportion du nombre radiant entre les trois dimensions d’une pièce parallélépipédique, la qualité acoustique sera la même. Elle est notifiée par le point rouge sur le diagramme. Elle est bonne et acceptable dans tous les cas. Ainsi, par exemple pour une hauteur sous plafond de 2,40 m, la largeur sera 3,17 m et la longueur 4,18 m. Le nombre radiant permet ainsi de concevoir des volumes acoustiquement très correct et applicable à la taille d’une chambre ou d’un bureau. Remarquons que ceci fonctionne très correctement pour la proportion radiante, mais pas du tout pour la proportion dorée… Pour ce dernier on aurait en abscisse x = 1,62 et en ordonnée y = 2,62. On voit bien que l’on se retrouve alors en dehors de la zone acoustiquement acceptable. Il apparaît indéniable que la proportion radiante comporte des qualités supplémentaires que ne possèdent pas la proportion dorée. Nous l’avons vérifié dans le registre de la musique et de l’acoustique.

Conclusion

Ce bref parcours est la première ébauche d'une étude plus fouillée. Mais ces quelques lignes vous permettront déjà de percevoir quelques enjeux qui transparaissent...

« L’enseignement du nombre plastique trouve son application bien au-delà des limites de l’architecture ; elle nous fait communier à tous les domaines de la création artistique, précisément par ce qui constitue, pour chacun d’eux, leur essence profonde, leur âme. » (Le Nombre Plastique, p. XIV).

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